数学中的直观、定义与表达

在数学课程中如何给出定义往往是值得研究的一个好的定义应该揭示概念的本质，在什么的层面，而不是在如何的层面

本文讨论的数学问题主要与数学教育有关。

要理解一个数学概念，直觉，定义，表达都是必须的，只是作用不同。

在小学数学的初级课程中，这三个方面是混在一起的不仅要有直觉，还要学会记数法，最后形成自然数的概念在这个过程中，难免会有不恰当的做法，甚至走弯路，犯错误但如果最终形成自然数的概念，学习过程中的一些不足和错误也是无可非议的如果一个孩子学会了走路，难免会摔倒，会爬，会绊倒，甚至会受伤，但只要最终学会了走路

但最近几年来，一些自以为是的教学方法，从小就教孩子如何数数，计算，忽视甚至无视直觉这样一来，孩子可能在速算竞赛中获奖，却无法有意识地应用数学解决生活中的问题，更谈不上培养自己的创新能力其实只是一种虚荣心

在中学数学课程中，上述三个方面逐渐分离，教学方法与小学明显不同。

首先看无理数的概念早些年的大部分教材和现在的一些教材基本上都是这么说的:先举例说明无理数的存在具体来说，有些数不等于两个整数的比值，最常见的是边长为1的正方形的对角线长度认识到无理数的存在，可以进一步形成实数的概念，即有理数和无理数的总和至于无理数表示为无限无环小数，很多教材都不讲，或者只举具体例子让学生体验这种方法虽然没有给出实数的定义，但是适用于大多数学生其实大多数人一生都没见过实数的定义，但这并不妨碍他们在工作中使用实数，因为数学的严谨性是有数学家保证的，大多数人都可以放心大胆地使用

但是，如果有学生问什么是无理数准确地说，他不满足于直觉，希望从根本上理解实数的概念老师应该怎么回答这样的学生千里挑一，能回答这样问题的中学老师也是千里挑一唯一的问题是千分之一的学生能否遇到千分之一的老师

有的老师会回答，无理数是无限无环小数一些教科书或课外书也看到这个定义但是，无限无环小数只是无理数的一种表达，而不是定义从哲学上讲，任何定义都必须针对一个客观对象，否则就可能陷入逻辑陷阱首先需要明白实数是客观存在的，然后才能谈它的表达

实数的有效定义至少有两种，一种是被德德金除，一种是基本叙述这两种定义彼此等价，但风格却大相径庭前者有浓厚的几何味，后者有浓厚的代数味要理解实数的本质，最好两种定义都懂但是这两个定义并不简单，各种运算，大小关系，极限等等必须在定义之后建立对于普通中学生甚至大学生来说，难度都是相当高的因此，在中学数学课程和大学高等数学课程中不引入实数的定义是明智的

但在中学或大学数学教程中，用无限无环小数作为无理数的定义是非常不明智的而不是让学生明白，很多学生会误以为自己明白

恐怕我不明白，但恐怕我仍然认为我明白。

我们来看平面几何几何教材中有很多定义，但这些定义都不是原创的点，直线，平面等原始概念直观但不定义，但有公理系统定义在现代语言中，几何对象可以定义为满足某些条件的若干集合的系统直线，平面等的硬性定义不会有好结果还好没有这样的教材

可是，在现行的中学数学教材中，许多几何概念的定义存在严重缺陷，如直观作为定义或语义模糊。

回头看看实数的概念值得一提的是数轴是直观的将实数理解为数轴上的点，是大多数学生理解实数的有效途径借助无理数的例子和数轴的直觉，普通学生可以有效地讲授实数的概念换句话说，几何直觉是理解实数的有效方法，对于中学生来说是不可或缺的

有一些对大多数学生来说难度较高的定义，比如概率对于这样的概念，谈直觉往往比谈定义更明智但往往需要给出表达式，进一步给出操作方法通过这种方式，学生可以使用这些概念并进行创新工作，尽管他们最终可能不会完全理解某个概念此外，还可以通过应用提高对概念的理解

总之，如果学生能理解，直接定义是建立数学概念最有效的方法，如果大部分学生听不懂，至少不应该讲假话的定义或者忽悠学生。

大学数学课程也有定义问题。

先看微积分课程随便找本微积分教材，你会发现积分的定义并不简单在数学分析过程中，一元函数的积分被定义为一个相当超常的极限，利用到达分布等来判断其存在性是相当复杂和混乱的在非数学专业的微积分课程中，这部分内容只是简化了，复杂度基本不变，所以未必比数学分析的教材更容易理解，但另一方面，这些内容都没有作业布置，更别说考试了，白白浪费时间，让学生头疼

顺便指出，所有版本的中学课本中的积分概念也是这样写的，这当然是让中学生头疼的问题，甚至很多中学老师也看不懂。

学习了实变函数理论后，我们知道一元黎曼可积函数几乎处处等价于连续性直观来说，离连续函数不远了其实黎曼积分的应用主要是针对连续函数，最多是分段连续函数对于普通学生来说，黎曼积分其实只是面积的一个定义，并不是一般的定义比如一般近似封闭曲线所围成的面积，就不能用黎曼积分来定义所以花了那么多时间和精力学习黎曼积分，只为了学习一个特例的面积定义但是大部分人都有面积的直觉，不需要面积的定义，由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=f 围成的图形有面积直线y=0以上的面积视为正，直线y = 0以下的面积视为负，因此得到的总面积称为有向面积

这个定义不难证明牛顿—莱布尼茨公式。

积分的其他一些基本性质，如分部积分，换元法和一些初等函数的积分，都可以很容易地用牛顿—莱布尼茨公式证明使用张景中老师制作的辅助软件，一节课就足以把积分的基本概念和牛顿—莱布尼兹公式讲解清楚，已经超过了中学课程标准的要求至于黎曼积分的初衷——对面积分成竖条，再取极限，可以直观的讲，也可以不讲不需要很多课时，但是只有几个同学会关注

我们来看看线性代数的课程向量是最重要的基本概念之一在许多教科书中，向量被定义为有序数组这个定义不仅混乱，而且向量的运算也要单独定义一般来说，你要学了很多才知道什么是向量

这个定义有明显的缺陷，没有揭示矢量的本质详细来说，有序数组是一个向量在给定坐标系中的表达式，它是在如何的层次上，而一个好的定义应该是在什么的层次上

从是什么的层面来说，向量是向量空间的元素，没有向量空间讨论向量是没有意义的向量运算都涉及多个向量及其关系所以，要理解什么是向量，归根到底还是要理解向量空间

但是很多线性代数教材都没有向量空间就算有，很多老师也不说常见的原因是向量空间太抽象，学生理解不了然后当然很多基于向量空间的概念和定理就不能提了

其实向量空间的概念不是很抽象国外一些本科代数教材先讲群论再讲线性代数，明显比中国的线性代数或高等代数教材抽象另一方面，我们国家的中学生现在要花很多时间学习汇编，但是在课本上没有用如果你对向量空间的概念有很好的理解，至少会觉得集合是有用的所以至少有一部分同学对向量空间的理解没有困难对于有困难的学生，需要教育者的耐心例如，可以采用以下方式进行教学

注意学生学过解析几何中的平面向量和空间向量，知道一些物理应用在初等数学和物理教材中，我们通常讲的是向量的直觉，即大小和方向都有的量，好一点的教材也会指出这只是一种直觉，并不是大小和方向都有的向量学生可以通过物理意义对向量有正确的理解，虽然目前还没有向量空间的概念那么，从向量的这些直观概念到一般的向量空间，本质上只有维度可以无限所以我们可以先复习一下解析几何中的平面向量和空间向量，包括它们的直观意义和物理应用，然后系统的复习和整理向量的运算，再复习和整理向量在直角坐标系中的表达然后举例说明高维向量也有数学和物理意义这就导致了一般的向量空间，不抽象，难以理解当然会多花点时间，但是对后面的学习有好处

你可能会反驳说，我觉得把向量定义成有序数组并不令人困惑，而且简单方便好吧，那我们继续往下看你不能停留在向量的层面，那我们来理解张量按照有序阵列的方式，很多教科书是这样定义张量的:一个N维R阶张量由一组数组成，其中每一脚取1到N的整数，所以有nr个数，如果用一个n×n矩阵来改变坐标系，就需要一个以aij的函数为系数的坐标变换你还觉得这个定义简单易懂方便吗

如果你理解了向量空间，你只需要更进一步理解张量比如域K中两个向量空间V，W的张量积定义为其对偶空间中所有K—双线性函数构成的空间，同构于，同构于有了张量积，就很容易定义张量)直接从什么的层面去理解，显然要容易和简单得多

还有一点值得指出的是，一般来说，我们不能说定义是对是错，只能说是好是坏一个好的定义可以揭示客观存在或自然规律，启迪思维，引导有意义的研究方向在极端情况下，即使一个好的定义也能解决问题不幸的是，许多定义是有缺陷的有的教材把直觉当成定义，完全没有科学的严谨性，有的则比较混乱，或者语义模糊，或者近乎同义反复(见(2))，这些都是误导有些定义虽然严谨，但是没有背景，不自然(人为设定的条件)，极端情况下甚至连定义的东西都根本不存在虽然从这个定义可以推导出一些定理，可以写论文发表，但对科学没有贡献，更不会应用这只是一个逻辑游戏还有一种情况，虽然被定义的对象客观存在，值得研究，但定义的条件复杂或混乱(如上所述，以表达式为定义)，对初学者尤其不利其中一些还可能导致偏见或心理障碍

从上面可以看出，数学教程中如何给出定义往往是值得研究的这是一门被张景中先生称为教育数学的学科)

参考

蒋树声:论数学教育的特殊性——兼论如何处理数学与教育学的关系。数学通报，2008年第4期

蒋树声:现在的统一中学数学教材(2016)到底有多差

凯—李政:抽象代数基础，研究生数学系列6。清华/施普林格出版社(2007)

柯—李政:现代社会对劳动者数学素质的需求(2019)

张景中:谈教育数学(2021)